※本記事は、以前ヤフーブログ「予備校講師採用試験に２回落ちた九大チンカス院生の入試数学語り。」にて2015/3/7に掲載した同名の記事を、ヤフーブログサービス終了に伴い加筆、修正し転載したものです。
難易度：やや易
昨年比：同程度(８割なら１４の方が簡単、満点は１５の方が簡単)
１：二次函数、面積(数Ⅱの微積、パズル、1/6公式)、特称命題(中間値)、おっぱい。目標解答時間２０分。
テクニックＡＢ
記述量Ｂ
発想力Ａ
総合難易度ＡＢ
図を描いてみれば判りますが、本問のテーマは如何考えてもおっぱいです。
(１)は、文字定数aをどれくらいの力加減にすれば反対側のおっぱいに触れるかと云う問題です。敢えて反対側のおっぱいにタッチするのがモテる男の秘訣です。
(２)は、どれくらいおっぱいに触れているかを1/6公式を使って求める問題です。ただ触るだけではなく、どれくらい触れているかを知ろうとするところに、作題者のおっぱいへの執念が伺えます。
(３)は、aをどれくらいの力加減にすれば更に左右のおっぱいに均等に触れるかを、中間値の定理を使って絞っていく問題です。直線１本だけで左右のおっぱいを等しく堪能しようと云うところに、作題者の性経験の豊富さが伺えます。
さて、本問は難易度自体は初っ端の小手調べに相応しいものですが、何よりテーマがテーマですので、男子受験生は集中力を削がれ後の試験で大いに苦戦した事が予想されます。これは、かつて本学数学科で行われようとするも各方面からの反対に遭い中止された女性優遇入試を、合法的に、それも今度は数学科だけではなく理系全体で実現しようと云う、大学側の意図の現れであると思われます。
２、微積分(数Ⅲ)、不等式の証明(図形量の比較と見る(和分出来ないΣ))。目標解答時間１５分。
テクニックＢ
記述量Ａ
発想力Ａ
総合難易度ＡＢ
易しい数Ⅲの総合問題です 。
(３)は「和分出来ないΣ」と呼ばれる、直接計算出来ないΣを階段領域の面積と見て定積分で近似する問題です。ここで(１)、(２)で仕入れた事実をフル活用します。
(３)単独でも解けなきゃ駄目です。勿論完答必須ですね。
３：(１)領域(境界の考察に帰着)；(２)面積(楕円)；(３)三次元求積(非回転体)。目標解答時間２５分。
テクニックＢ
記述量Ｂ
発想力Ｂ
総合難易度Ｂ
空間座標での光線をテーマに色々と聞いてくる標準問題です。
(１)は領域を求める問題です。領域は高校数学の最難関テーマの１つで、本当なら色々な解法を想定しながら解くべきなのですが、まあ本問は境界の考察に帰着して解くのは良いでしょう。先ず思い付くのがベクトルとパラメータの利用ですが、本問はx軸に垂直な各断面で円と有名角を上手く利用して初等幾何的にする方が楽な気がします。
(２)は良いでしょう。只の楕円の面積です。
(３)は勿論積分ですが、どの軸に垂直に切るかが少し悩みどころです。(１)を初等幾何で解いていればx軸が良いと判断が付き、従って(１)が誘導と思えなくもないですが、ベクトルとパラメータで解いていると前問は完全に独立小問になってしまいます。なので作った人は多分、(１)の模範解答としてx軸で切って初等幾何でやる事を想定していたのでしょう。
極々標準的な問題ですが、うちの受験生のレベルから察するに「太陽光線」とか言われただけで「うわーもう解らないよーママー！」って雑魚も多かったのかも知れません。
４：確率(非n、推移確率、偶奇性、コンプリメント的思考)：(３)「n回目で初めて○○⇒n-1回目迄はnot○○」；(４)「n回目迄に○○=」、誘導「結果の利用」。目標解答時間２５分。
テクニックＢ
記述量Ｂ
発想力Ｂ
総合難易度Ｂ
九大らしい、状況把握が面倒な確率です。先ず本問、青玉だけ考えれば十分と判ります。この様に一方のみを考えれば他方は勝手に決まってしまうシチュエンションを「コンプリメント的」と(俺は勝手に)呼んでいます。よく起きるシチュエイションなので、まあこの名前でなくても何かしら名前を付けて覚えておくと良いと思います。次に如何解いていくかですが、取り敢えず確率の問題の解法として：
①漸化式；
②余事象；
③推移確率と捉える；
④該当する事象のみ上手く数え上げる(該当パターン全調査)；
⑤全事象書き上げて調べる(全数調査)；
⑥予想して帰納法、
の６つだと俺は思っていて、先ず考えるのは①～③で、④⑤はそれだと駄目そうな時です(⑥はレア)。まあ本問は同じ操作を繰り返す感じなので①か③っぽいですが、①が無理なので③の推移確率となります。
(１)は只の計算問題です。
(２)は「偶奇性に注意しろよ」って云う作題者の親切心です。
(３)の「n回目で初めてもらう」ってのは、つまり「n-1回目迄はもらわない」って事なので、その様な推移を考えてやるだけです。
(４)は(３)が誘導になっていて、つまり「(２回目だけもらう)+(４回目だけもらう)+(６回目だけもらう)+(８回目だけもらう)」です。
さて、決して難しい問題ではないですが、考察量も記述量もそこそこ有るので、苦戦した受験生が多そうですねえ。何故か解答が手元に有るので、載せておきます。
※解答(画像じゃなくてすまんこ)：２０１５九大４.pdf - Google ドライブ
５：整数総合：(１)mod算(３の倍数性の証明)、二項展開；(２)互いに素の証明(自明、強いて言えば背理法)；(３)ディオファントス方程式(積の形、しらみ潰し)、偶素数は２のみ、誘導「結果の利用」。目標解答時間２５分。
テクニックＢ
記述量Ｂ
発想力ＡＢ
総合難易度Ｂ
素因数をテーマに色々聞いてくる整数の総合問題です。素数pの問題で注意すべきは：
①(pの倍数)＝ab⇒aかbのいずれかはpの倍数；
②左右辺の約数pの個数に注目；
くらいでしょうか。③は何当たり前のこと言ってるんだと思われるでしょうが、こう云う当たり前の事を確り意識する事が難しい整数問題の突破口になっている、なんて事が意外と多いんで、まあそれへの注意って事で。
(１)ですが、まあと見て二項展開でしょう。他には帰納法でもいけますが、最高に筋が悪いです。
(２)は自明ですよ。だって、両方奇数で差が２なんですから。その辺、「俺は(私は)解ってるぞ！」って一言書けば点数は貰えるでしょう。
(３)で、最初に述べた事実の内、①③を使います。p-1はpが2以外の時は必ず偶数なので、そこで(１)が使え、後は考えられる条件をしらみつぶしにするだけです。にしても、「全て求めよ」っつときながら答が１つなのは少し意地悪な気がします。
どの問題も易しいですが確りとポイントを含んでいて、良い試験だと思います。５番以外雑魚だった２０１４に比べ標準的な受験生には難しかったかも知れませんが、大物がいない分、満点は２０１５年の方が取り易かったと思います。数学科トップ層や医学科志望なら普通に満点取りたいレベルですね。
