※本記事は、以前ヤフーブログ「予備校講師採用試験に２回落ちた九大チンカス院生の入試数学語り。」にて2017/2/26に掲載した同名の記事を、ヤフーブログサービス終了に伴い転載したものです。
難易度：易
昨年比：やや易化
１、複素平面、軌跡、目標解答時間２０分。
テクニックＡＢ
計算量Ｂ
発想力Ａ
総合難易度ＡＢ
実部虚部に分けて、パラメータを消すだけです。
２、空間ベクトル、誘導(結果、方針の利用)、対称性、目標解答時間２０分。
テクニックＢ
計算量ＡＢ
発想力ＡＢ
総合難易度Ｂ
(１)はいいでしょう。(２)ですが、正八面体は相対する辺が各々平行なので、(１)の結果と合わせ、(１)同様に等しい比が沢山出ます。この辺の議論は一々やるのは面倒臭いので、対称性と言って横着しましょう。中点なのはここから直ちに出ますし、辺の長さも出た結果をいじいじするだけです。
誘導のおかげで易問ですが、(１)が無いと考えると中々の大物に化けます。
３、tanの加法定理、ディオファントス方程式、目標解答時間２５分。
テクニックＢ
計算量Ｂ
発想力ＡＢ
総合難易度Ｂ
加法定理で与えられた値を使える形にしてからは、極一般的なディオファントス方程式です。標準的なテクニックと言えば、
①積の形にして因数の議論。
②特定の塊(必ずしも１文字とは限らない。n^2+1等)を分数化や解の公式等で分離し、それが整数である事から変数の範囲を絞る。
③その他偶奇性、倍数性、字数の大きなもの等に注目し、範囲を絞ってしらみ潰し。
④ベズー方程式、ペル方程式等特別なタイプの解法。
辺りでしょうか。本問は②をメインに、③も少し使います。
類題って程使われるテクニックは似ていませんが、三角函数が整数問題チックに使われているのと言ったら、少々古いですが１９８４の一橋の問題(第何問かは分からないです)や、２００６京大理系後期６の例のtan1°のやつでしょうか。
整数問題好きなので、一応解答を。
※本問ですが、加法定理使用前にtan2βが定義可能か(i.e.2βが90°とかにならないか)のチェックが必要でした。これを書いていないと半分近く引かれる可能性が在りそうです。大変失礼しました。
４、算数、図形量の最大値最小値、目標解答時間２０分。
テクニックＢ
計算量Ａ
発想力Ｂ
総合難易度Ｂ
(１)は最早完全なる算数です。近所の賢い小学生捕まえてきたら、大体解けます。
(２)は図形量の範囲の問題です。基本的には、
①パラメータ(角度の場合を忘れるな！)を置いて函数処理。
②幾何的に考える。
が武器で、②を交えつつ③、ってのが大学入試では普通で、僕も始め片方の辺をxとして条件付きの２変数関数で考えようか等としたのですが、ウザったくなって見直したところ、何と本問、③で押し切れます。こうなると昨年の３番に引き続き完全なる算数な訳ですが、まぁ「あんま小難しく考えるなよ。」って云う京大の先生からのメッセージでしょうか。
って訳で解答です。
５、微積、目標解答時間２０分。
テクニックＡＢ
計算量Ｂ
発想力Ａ
総合難易度ＡＢ
理系の微積のお約束問題です。完答以外有り得ません。
６、確率漸化式、３の倍数判定、目標解答時間１５分。
テクニックＡ
計算量Ａ
発想力Ａ
総合難易度Ａ
大取ですが、見た瞬間に方針が立つ、本セット最易問です。
今年は随分と穏やかでした。極標準的だった昨年と比しても、２の様な存在感の有る問題や、６の様な地味にウザい、みたいな問題も無かったですし。ただ、どれも手軽な中でポイントはちゃんと有りますし、良い試験だと思います。２，４は方針によっては泥沼も有り得ますし、３もちゃんとした整数問題ですからね。
まぁボーダーは１，５，６完答、他１問完答で４完は必要でしょう。医学科、理学部トップ層は満点です。彼等にはちょっと物足りないかなぁ？
