予備校講師採用試験に2回落ちた九大チンカス院生の入試数学語り。

毒舌、下ネタ注意。※年々自信を失い、それに伴って毒もマイルドになってきています。

友達から紹介された問題。

 友達から横国後期の大問4を紹介されました。問題は以下をご覧ください:

"横国後期 理系数学です良ければ解いてみて下さい… "

※1, 2, 3, 5はそんなに難しくないのではないかと思います(少し手を動かしたりして雰囲気を掴んだりはしたけど、真面目に解いていないので細かい部分は判らない)。

 

 中々気持ち良く解けたので少し解答を書いてみます。

先ず(2)は \mod 2, 4して考えれば

\begin{cases}a=2{}^{\exists}m+1, \\ b=2{}^{\exists}n\end{cases} 

と判り、また(3)は直前の式で1, \sqrt{5}の係数が各々0になる事が必要である事から、特にX=2(a+1) と判ります。

 問題は(4)です。先ず示すべき事は

\sqrt{X}\text{ or }\sqrt{\frac{X}{5}}\text{が整数}

\Leftrightarrow X=(\text{平方数})\text{ or }5(\text{平方数}) 

です。ここで、

X=2(a+1)=2(2m+2)=2^2(m+1) 

である事から

m+1=(\text{平方数})\text{ or }5(\text{平方数})\quad\cdots\text{(☆)} 

を示せば十分であると判ります。ここで、

a^2-5b^2=1 

\Leftrightarrow (4m^2+4m+1)-5\cdot4n^2=1 

\Leftrightarrow m(m+1)=5n^2 \quad \cdots\text{(★)} 

であり、mm+1は互いに素である事から、(★)の素因数分解を考える事により(☆)が判ります。

 

 さて、見ての通り題材はペル方程式なのですが、解答の通りペル方程式の知識は一切要らない常識的なディオファントス方程式の問題です。寧ろ下手に\mathbb{Z}[\sqrt{5}]での因数分解とかを意識すると、余計な議論をして時間を食ってしまいます(しました)。っつー事で、「中途半端な``範囲外''の知識は却って邪魔に成り得るよ」という警鐘として良い問題かと思い、紹介してみました。