予備校講師採用試験に2回落ちた九大チンカス院生の入試数学語り。

毒舌、下ネタ注意。※年々自信を失い、それに伴って毒もマイルドになってきています。

「人を信頼する」という事について。

 ツイートしようかと思ったんですけど、長くなりそうなんでここに書きます。基本的にこういうのはワード(最近はテフかな?)で文章にして自分のパソコンの中だけでしまっておくのですが*1、今回の話は何処かしら人目に付き得る場所に書いてみたくなったので、そうします。

 

 先ずはタイトルの「人を信頼する」という表現について、ここ最近の俺の考えの変遷について整理しながら述べてみます(考えながら書くので、かなり行き当たりばったりだと思います):

 俺って最近迄「人を信頼する」という言葉の``定義''を「その人に``裏切られて``も許す」という風にしていたのです。しかしながら、こういう言い回しをしてしまう事自体が、結局、人から``裏切られる''可能性を想定している、もっと言えば、人から``裏切られる''事を恐れているからこそのものなのではなかろうか、と思った訳です。だって、俺は家族、特に両親を心から``信頼''していますが、今「両親を``信頼''している」という表現をした際、万が一にも、うちの父ちゃん母ちゃんが俺の事を``裏切る''なんて事を想定してはいないからです。その意味で、結局、俺が本当に``信頼''しているのは両親くらいのもんであり「俺って他人を信頼する事は出来ないのだろうなあ」なんて思ったりもした訳です。しかしながら、ここで注目したいのが、ずっと引用符を付けてきた通り、今度は「裏切る」という言葉の定義を確りせんとならんだろう、という事についてです。と言うのも、「人が人を裏切る」という行為には、大きく次の3通りが在ると思われるからです:

1. 裏切った側に悪意が有る場合;

2. 裏切った側に悪意は無くとも落ち度は有る場合;

3. 裏切った側に悪意も落ち度も無い場合。

このままだとやや抽象的ですので、具体例で考えてみましょう。例えば、「XがYからお金を借りる」とします。この時「端から返すつもりが無い、何なら相手を困らせる目的で``借りる''」という場合が、1に該当します。一方で「最初は返すつもりだったが、その後のXの計画性の無さや怠慢等が原因で、お金を用意出来ずに返せない」という場合が、2に該当します。そして「返すつもりで借りたが、病気等で返せなくなってしまった」というのが、3でしょうか。勿論、この区別も未だ未だ完璧ではありません。例えば:

・2の裏切りの理由も、「計画性が無い」と「怠慢」ではかなり別物でしょう(前者は単に頭が悪いだけだけど、後者は矢張りXの人間性の問題を孕んでいる様に思われる);*2

・1と2は(Y側から見た際の)区別が曖昧。つまり、Xが最初から悪意を持っていたのか否か、Yからは結局は判らない;

・2と3の区別も曖昧。つまり、先程「病気で返せない」というのは3の例として挙げましたが、その病気ってのが生活習慣病みたいに本人の不摂生に由来するものだったりしたら、2の「計画性の無さ」と区別が曖昧になってくる訳です。

とまあ以上、この区別が必ずしも完璧なものではない事は認めた上で、例えば先の自分の親の話で言えば、2, 3の裏切りは十分想定出来る訳で、その意味で俺の親への信頼は「2, 3の裏切りは許すけど、1の裏切りはそもそも想定していない」という種類の信頼と言えるでしょう。あーてかそもそも1, 2, 3の区別が曖昧な中で「1の裏切りは想定していない」という風に思っている事こそも、相手への信頼の度合いと言って良い気がしてきました。つまり、自分がYになったと思い、終ぞXが金を返さなかったとして、その裏切りが2と3(或いは1と2)の区別が付かない時に、Xは2と3(或いは1と2)のどっちの裏切りをしたと見做すか、という事が、正にYのXへの信頼度合いを表している様に思います。俺の場合で言うと、仮に親から(傍から見たら)1と2の区別が付き難い裏切りを受けた場合、俺は無条件に2だと見做す、という感じですかね。即ち:

・如何いう裏切り迄なら許すか;

・如何いう裏切りかの区別が付き難い裏切りを受けた場合、ポジティヴに解釈し易いか、或いはネガティヴに解釈し易いか,

という2つの点が、相手への信頼度合いを示していると言えるでしょう。後者について言えば、自分から相手への好意の他に、相手の能力等の高さへの評価も判断材料となり得るでしょう。例えば「俺はYを個人的には余り好きではないけど、でもYはそんな事をする様な卑劣な人間ではない」みたいな判断の仕方も、十分在り得ると思うのです。

 ここ迄くると、かなり整理されてきた様に思います。そして、俺に関して言えば、矢張り親並みの信頼を寄せられる人間ってのは、この先、恐らくは出てこないだろうとは思いますね。それは単にこちらの頭の中での好意だ何だだけの話ではなく、相手の立場も考えての事です。つまり、大体の人は先ずは1番可愛いのは(俺同様)自分だろうし、そうでないとしたら、その愛情が向けられる対象は、矢張り家族なのだと思われます。他人は所詮、他人でしかないのです。ですがこの「他人は所詮、他人でしかない」という考えは、別に全然、ネガティヴなものではない様に思います。だって、仮に他人に対して家族以上の信頼を寄せる様な人間がいたとしたら、それはもう信頼なんてものではなく、単なる依存でしかない気がしますからねえ。

※あーいやてか何か言葉遊びをし過ぎて混乱している感じがしますね。結局、上で言う``裏切り''の内、悪意なり人間性の問題なりが在るものだけが、一般的な意味で言うところの「裏切り」ですかね。後は「裏切りかそうでないかが曖昧なものを、裏切りであると判断し易いか否か」という事ですね。いやー本当、文章にすると色々とスッキリしてきて良いですねえ。ついでに「こんなに沢山文章を書ける俺」にも酔えますし♪ っつー事で以上、纏めると:

・悪意や人間性の問題なりが有った上で、こちらに不利益を生じさせる行為を「裏切り」と呼ぶ;

・「他人に対する信頼」の定義は、「裏切りを1度に限り許す」とする(系として、1度裏切った相手は、許しはしてももう信頼はしない);

・裏切りかそうでないかが曖昧な行為をどちらと判断し易いか否かも、相手への「信頼度合い」を表している;

・家族等一部に対する「信頼」は、そもそも裏切りを想定すらしていない;

・では他人への「信頼」の定義は、暗に裏切りを想定した(恐れた)ものという事にはなるが、「他人は飽く迄、他人である」という大前提を考えれば、これは必ずしもネガティヴなものではない;

・矢張り俺は俺の事が好き。

 

 と言う事で、以上、書いている間に段々と俺は頭の中は整理されて満足してきたのですが、満足ついでに最後に自分語りもしておきましょうか(俺は兎に角、俺の事が好きなもんで):

 そもそも、何で俺はこんなに親を信頼しているのかって話なんですが、1番の理由は、小学生の頃、夜中にでかい地震が在った時に、うちの親は真っ先に俺(と妹)を守ろうとしたんですよね。子供ながらに「この人達って、俺達の為なら「自分の命を投げ出す」という判断を瞬時にする人間なんだ」と感動した覚えが有ります。これが間違い無く、俺の両親への全幅の信頼の1番の理由です(勿論、これだけでは全くなくて「28歳(2021年4月現在)にもなって仕送りを続けてくれている」とか他にももっと色々在る訳ですが、余り話過ぎると長くなるんで、ここではこれだけで)。しかし、最近思うのは、この出来事は俺の「人を愛する」という事への呪縛になっている気もするという事です。と言うのも、俺は俺自身の事がもう本当に可愛過ぎて、うちの親が俺に対してして見せた「自分の命を投げ出す」というレヴェルの愛情を自分以外に向ける自分を、全く想像する事が出来ないのです。勿論、世の人々を見るに、自分の中に「潜在的な他人への愛情」なんてものが有ると事前に見極めた上で結婚だの子供を作るだのする人間は殆どいない訳で(恐らくはうちの親もそう)、その意味では俺も「結婚してから/子供が出来てから変わる」という可能性も在る気はするのですが、それにしても俺は本当に自分の事が可愛過ぎて仕方が無い。そして「子供よりも自分の方がずっと可愛い」という``親''は、矢張りそれなりに見苦しい気がするので、そうはなりたくはない。うーん童貞拗らせ過ぎているんですかね?自分じゃもう全く判らん。

*1:勿論、これは「こんな几帳面な俺を皆知って」アピールです。

*2:ここで「頭が悪い」という表現も、矢張り定義が難しいです。つまり、一般に「頭が悪い」という表現は相手へのかなり強い馬頭である訳ですから、寧ろ人間性が劣っているという人間にこそ言い放ちたくなる訳です(と言うか俺は普段、人間性が劣った人間への攻撃として使う場合が多い)。但し、これも話し出すとまた長くなりそうなんで、ここでは余り触れない事にします。

2021年度春学期代数学I.

 今年もしこしこやっていきましょうかねえ。

 取り敢えず、例年通り演習問題の解答を作っていきます(毎週更新):演習略解.pdf

 演習問題は去年と大体同じになるっぽいんで、去年のページも参照しておきます。

 

※暫くオンラインが続きそうなので、俺は木曜の13:00から、以前、金子先生のメールで通知されたページにいる事にします。なので、聞きたい事が有る人は是非来てください。誰も来なかったら13:30とかには消えると思うんで、何か聞きたい人は早めに来てください。

あーすんません13:30に演習問題が配布されるっぽいんでいるのも13:30からにします。

 

 後は、講義で使われる教科書(堀田先生の代数入門)は、数学的にはとても良い本で、読めるのならこれを読んでおけば良いのですが、恐らく初学者にはまあまあ難しい気がするので、代替本を幾つか紹介しておきます:

・中島匠一先生「数論と代数の基礎」共立出版
 俺が初めて読んだ代数の本です。定義導入の動機付け、定義や定理の使用上の注意、証明の記述、どれを取ってもかなり丁寧です。(数学科の学生なら)ほぼ万人に合う気がしますが、章分けが少し独特で(初等整数論→環論→群論)、講義と併用するには一寸工夫が必要だと思います。学校の先生を目指す人なんかは、前期で環論と群論を読んで、夏休み中に初等整数論の章を代数の言葉に翻訳しながら読んだりすると、とても良いと思います。演習問題の解答は本には載っていないですが、リンク先の共立出版のホムペに在ります。後は、アマゾンで低評価が幾つか在りますが、代数を勉強する資格が無い人(高校数学を理解していないレヴェル?)が付けたものだと思われるので、数学科の学生なら無視して良いでしょう。
 
・川口周先生「代数学入門」日本評論社
 定義定理の使用上の注意も、証明の記述もとても丁寧です。例が凄く豊富且つ丁寧で、理解の助けになると思います。代数II以降の内容にも触れられていて、中島先生の本に比して、専攻決定以降も代数を使うかも知れない人向けだと思います(勿論、自分で目を通してみて記述が気に入った方を優先してください)。暗号とか符号の話にも触れているので「代数やりたい/好きだけど純粋数学オンリーはちょっと怖い」みたいな人にも良いと思います。特に九大だと需要が高そうですよね。因みに、この本は九大図書館のホームページで無料でダウンロード出来ます。
新妻弘先生、木村哲三先生「群・環・体入門」共立出版
 定理の証明が凄く丁寧です。レイアウトが凄く読み易いです(レイアウトを気に入るか如何かは実はモチヴェイション維持の上でかなり重要である事が統計的に実証されている)。中島先生や川口先生の本と違って、動機付けとか使用上の注意みたいな手取り足取りの説明は余り無いですが、寧ろこういう本の方が好きな人もそこそこいるのではないかと思います。例題や演習問題も豊富で、高校の教科書みたいな本です(リンク先のアマゾンのページで中身が結構見られます)。
 
・野﨑昭弘先生「なっとくする群・環・体講談社
 (恐らく)非数学科向けに、兎に角、具体例等の動機付けを丁寧に挙げながら、代数Iで扱う「群・環・体」について解説しています。この本だけでは代数を習ったとは言えませんが、如何しても苦手で「取り敢えず講義を聴ける様にする為に何とかならないか?」みたいな本を探している人には、ひょっとしたら良いのかも知れません。集合とかも最低限の事は初めに纏まっているみたいです。
 
・石井俊全さん「ガロア理論の頂を踏む」ベレ出版。
 「ガロア理論」とありますが、代数Iの内容と、更にそれに必要な集合論線型代数についても丁寧に書かれています。アマチュアの方が書かれた本で、正直、数学的に気に入らない記述が色々と在るのですが、兎に角、説明や例や例題が大量に書かれており、また非数学系の愛好家みたいな人達からの評判がとても良いみたいなので、如何しても苦手って人は、検討してみても良いのかも知れません。まずい表現等は、演習発表やセミナー発表で叱られて直せば良いでしょう。
 とても分厚い本ですが、それは兎に角、説明が沢山書かれているからであり、内容はそんなに多くはありません。本書が扱っている``ガロア理論''についても、代数IIIで習うそれのスペシャルケースに過ぎません(より正確に言えば、考察対象を\mathbb{Q}の有限次拡大に限定している)。

マッチングアプリに登録してみたけど直ぐに退会しました。

※ごめんなさい。こんな記事を書きましたが、何かどっちもメッセージのやり取りに金が掛かるみたいなんで止めました。いやまじかよやり取りだけで月3000円とか洒落にすらなってねえ。もー折角女の子と話す機会が得られると思ったのに!やっぱ学振の無い学生に恋愛は難しいのかも知れませんねえ(てかメッセージ寄越すのとか絶対に月額料金払わせる為のサクラだろ)。学生は大人しく数学やってろって事ですね💩

 

 ここ最近、俺のツイッターのタイムラインで、何故か恋人やら結婚やらの話題が矢鱈と続いているんで、それに影響されて「Pairs」と「Match」というマッチングアプリに登録してみました。

 別に今直ぐ恋人が欲しいとか結婚したいとかではないんですけど、思えば俺って「年齢の近い女の人とゆっくり話した」みたいな経験が殆ど無くて、なので単純に「女の人と会話するって如何いう感じなのか?普通に男と話すのと変わらないのか?それとも矢張り「女の人って一寸違うな」ってなるのか?」みたいな事が知りたくなった、って感じです。友達と女の子の話とかになっても、俺って現実の女の子の事を殆ど知らないから、憶測とか10年以上前の経験とかでしかものが言えなくて、それも一寸悲しかったんですよね。後は、「年収とか身分が不安定である事が、この手の市場でどれくらいのビハインドになるのか」みたいな事も判ったりすると、面白いですよね。

 いや登録したっつっても今のところ本当にプロフィールやらを書いて登録したってだけだし、恐らくそんなにがっついて利用する訳でもないと思うんで、如何なるのかは判りません。ただ、取り敢えず今日は1つ新しい事をしたんで、何か一寸達成感が有って気持ちが良いです。

2021北大理系。

 或る意味北大らしい難易度に戻りました(或いは戻り過ぎて通り越してしまった?)。

難易度:おちんちんが生える程易

昨年比:おちんちんが取れる程易化

※「ブログの今後について。」で述べた通り、必ずしも「全ての問題に真面目に解答を付ける」という事はしていません。勿論、全部自力で解ける事は確認しています。

 

1:平面ベクトルの定期テスト問題。目標解答時間20分。

テクニックA

記述量B

発想力A

総合難易度A

 テーマは射影ベクトルですが、そんなもん知らなくても如何とでも解けます。

 

2:最大最小(相加乗)、数IIの微積の共通テスト問題。目標解答時間20分。

テクニックA

記述量B

発想力A

総合難易度A

 (1)なんか共通テストの問題ですよね。(2)は当然、相加乗ですが、こんなのの最小値を考えて何が面白いんですかね?

 

3:(1)指数方程式;(2)最大最小(相加乗)、底の変換公式、やや意地悪な小問。目標解答時間15分。

テクニックA

記述量AB

発想力AB

総合難易度A

 (1)は良いでしょう。2変数ですが、ほぼ教科書の例題です。

 (2)は一瞬、見た目が一寸怖い気がしますが、何て事は在りません。

\log_ab=\frac{1}{\log_ba}

ですね。底の変換公式のスペシャルケースです。後は(1)を使って相加乗ですが(今年は相加乗好きだな)、(1)の問題文的にy^2を消去するのかと思いきや、消去するのはxです。若干意地悪な感じがしますが、まあ難易度には影響無いでしょう。

 

4:数学的帰納法定期テスト問題。目標解答時間15分。

テクニックA

記述量AB

発想力A

総合難易度A

 離散全称の証明ですが、「nの問題は数学的帰納法」を丸暗記しているだけで満点が取れます。

 

5:パラメータ求積の教科書の例題。目標解答時間20分。

テクニックA

記述量B

発想力A

総合難易度A

 いやこれ数IIIの教科書の例題やん。

 

 

 これは如何した事でしょうか。オールAです。北大ってどんなに易しい年でも1問は標準以上の問題(大体は微積の式処理)が入っていた気がするのですが、今年はそれすら在りません。最近、少し難し目だったんで、恐らくは作問委員が今年は少し易しくしようとしてミスったのでしょう。数物系上位半分や医学科獣医学科は殆どの学生が満点だったんじゃないですか?来年はまた昨年以前の難易度でくると思っておいた方が良いでしょう。

 そして北大も確率が無え。

 さて、今年も「旧帝理系+東工大」終りました。繰り返し述べている通り、今年から東大京大九大以外は真面目に解答を作っていないんですが、いや良いですね。記述用の答案作らずに「あー後計算だけだここ迄」とか出来るの。これなら未だ未だ楽しくブログを続けられそうです。ただ、これだけだとツイッターとかで偉そうに``今年の東大数学簡単過ぎw''とか言ってる数学のすの字も知らなそうなイキり大学生共と同じになっちゃいそうなんで、ちゃんと東大京大九大だけは時間計って答案作りも続けていこうと思います。

2021東北大理系。

 研究集会が終ったんで、北2つを片付けておきます。

難易度:やや易

昨年比:同程度~微易化

※「ブログの今後について。」で述べた通り、必ずしも「全ての問題に真面目に解答を付ける」という事はしていません。勿論、全部自力で解ける事は確認しています。

 

1:領域、二次方程式の解の配置。目標解答時間20分。

テクニックA

記述量B

発想力A

総合難易度A

 領域つってますが、まあ二次方程式の解の配置だけですよね。aの値で場合分けですね。

 新高3に配慮した春の模試とかで出そうな問題です。

 

2:(1)平面ベクトルの教科書の例題;(2)2変数函数の値の範囲ってか最大最小ってか(独立2変数(各々動かすだけ));(3)誘導「結果の利用」、ディオファントス方程式(絞り込み→積の形)。目標解答時間25分。

テクニックAB

記述量B

発想力AB

総合難易度AB

 (1)は良いでしょう。

 (2)も、(1)で求めた値をa,b各々動かすだけです。解法選択って程ではない気がする。

 (3)は(2)からS/T=3になりますね。後は因数分解です。数値の設定のお陰で処理が少なくて助かります。

 整数問題を全然別の分野に上手く結びつけている問題です。東北大、結構好きな気がします(17の3とか)。難しくはないんで、これも取らなきゃですね。

 

3:場合の数の傍用問題集問題。目標解答時間20分。

テクニックA

記述量B

発想力AB

総合難易度AB

 どの問題集にも載っていて、誰でも解けて、そして一寸怠いやつです。

 

4:図形と方程式総合;(1)「解↔交点」の言換、多項式因数分解、解と係数の関係;(2)軌跡(文字消去)、変数の範囲;(3)線分の通過領域(素朴に動かす)、求積(数IIの微積)。目標解答時間30分。

テクニックB

記述量BC

発想力B

総合難易度B

 難し過ぎない中で、色々な知識を問うている中々良い問題です。

 (1)ですが、先ずはlをy=x+cとして連立でしょう:

x^3-3x-c=0\cdots

いつもならここで「文字定数cを分離して…」とかやる訳ですが、今回は「解の1つをaとして良い」と言っているので、その情報を反映させて方程式に問題に帰着する事が出来ます。先ずはx=aを代入し、

a^3-3a-c=0\Longleftrightarrow c=a^3-3a

である筈です。従って、

★\Longleftrightarrow x^3-3x-(a^3-3a)=(x-a)(\underline{x^2+ax+a^2-3})=0

となります(2つ目のイコールはf(x)-f(a)の形に注目し因数分解しました。多項式方程式の解を考えているので、因数分解は常に頭に用意しておくべき事です)。P, Qのx座標は各々(上記下線部)=0の解ですので、解と係数の関係が使えます。(-\frac{1}{2}a,a^3-\frac{7}{2}a)になるみたいです。標準的な知識の組み合わせなので、(1)は出来たいですね。

 (2)は軌跡の定石通り(x,y)=(-\frac{1}{2}a,a^3-\frac{7}{2}a)としてaを消去すれば良いのですが、問題なのはaの範囲です。当然、先ずは問題文の条件(*)を満たさないといけないのですが、その他にも「3つの交点の内、座標が1番大きいのはR」という条件が隠れています。これを反映させるには、実際に(1)の方程式のa以外の解を求め

x=\frac{-a\pm\sqrt{12-3a^2}}{2}

となり、「大きい方がaよりも小さい」という不等式

\frac{-a+\sqrt{12-3a^2}}{2}\lt a

を解く必要が在ります。俺みたいな数学の人間は「条件を満たしているかチェックする」という習慣は頭に染みついているのですが、受験生にとってはそれ程常識ではないでしょう(実際、数学科の大学生ですら、身に付いている人間はそう多くはない)。

 (3)は線分の通過領域です。テーマ的にはそれ程易しくはないですが、今回はその線分がy=x+cと動く部分がcだけですので、cの範囲を(2)で求めたaの範囲を元に特定し、その範囲でcを素朴に動かしてやれば良いです。ここ迄くれば、後は算数ですね。

 通過領域の問題で「素朴に動かす」のは、東大だとよくやる手法です。色々と通過領域のテクニックを覚えてしまうと、かえって採用し難くなってしまう手法ですよね。ちゃんと箇条書きで頭に入れておき、いつでも使える様にしておいてください。

 

5:(1)(2)複素平面(因子を捨てる(拡大回転するだけで点の位置関係は保たれる));(3)図形量の最大最小(数式化→微分)。目標解答時間25分。

テクニックB

記述量BC

発想力AB

総合難易度B

 (1)(2)は16東大4の易類題ですね。因子zを捨てるんですが、16東大4はその前に平行移動という一工夫が必要でした。

 (3)は当然、数式化して微分ですが、(2)のzの存在範囲がまあまあ怠いんで、場合分けもかなり怠いです。

 

6:(1)nと積分込みの等式の証明(数学的帰納法、部分積分);(2)不等式の証明(積分区間被積分関数を評価);(3)誘導「結果の利用」。目標解答時間25分。

テクニックB

記述量BC

発想力B

総合難易度B

 「ザ・理系の標準問題」なのですが、とある有名事実に基いています(後述)。

 (1)ですが、nがいるのでまあ帰納法でしょう。「k⇒k+1」の証明で部分積分を用います。

 (2)は数IIIの標準問題集に必ず載っているやつです。当然、e^x積分区間で評価します。

 (3)は(2)の不等式により「最小のn」が求まります。偉そうに言っていますが、気付く前に一緒に問題を見ていた某先輩に即座に言われちゃいました(勿論、俺も絶対に気付きます)。こういう「不等式を成り立たせるベストな値」の議論は、数学科に入ったら先ず勉強する「イプシロンデルタ論法」ってのでめっちゃやります。ただ、ひょっとしたら慣れていないと受験生には難しいのかも?

 さて、聞いた事が有る生意気な受験生も多いでしょうが、実は(1)はe^xの「テイラー展開」ってやつです。但し、本問は別に「テイラー展開を知っていればもっと簡単に解ける」みたいな類いの問題ではないですし(剰余項(定積分のとこ)関する知識もちゃんと有って、且つ関連する演習問題とかの経験も有ればこの限りではないが、それだけ確り勉強している受験生は殆どいないでしょう)、寧ろ余計な事を知っているせいで変な事をしようとして普通の解き方が出来なかったかもなので、案外、そういう「知識に振り回される受験生」向けの虫除けに丁度良い問題だったかも知れません。

 ところで、東北大ってこういう「大学1年レヴェルの微積ちゃんと勉強していると有利になる問題」が時々出る気がします(19の5とか14の6とか?)。なので、数学科志望とかで他の科目も或る程度目途が立った受験生は、そういうものに手を出してみるのも、ひょっとしたら悪くないかもです(「合格する」という観点から見れば、他教科が不完全だったり模試の判定がAで安定しなかったりする受験生には、先取り学習はお勧めしない)。

 

 

 昨年に引き続き易し目の出題ですが、相変わらず高校で数学を真面目に勉強したか如何かを問う、良質な問題が並んでいます。地方旧帝大の理系生の数学力を見聞きする感じ、これくらいの出題が丁度良い気がします(名大や最近の九大は少し難し過ぎる気がする)。前半の基礎問題3つを確実に取る事が先ず大切です。後半3題は地方旧帝大の問題としては標準的です。ここから1問分取り、4完分くらいで合格者平均くらいだと思います。満点が取れればちゃんと周りと差を付ける事も出来ると思います。欲を言えば、1題くらいはB問題を数物医学の数学自慢向けの問題に差し替えてあげると良い気もします。

 後半3題は東大の標準問題に近い気がします。4,5が東大に近い事は指摘しましたし、6についても、テイラー展開が背景である問題は昔の東大の問題に結構在った気がします。後、2の「独立2変数を各個処理する」ってのも、そう言えば今年の東大2でも出てますね。まあ、だからと言って「東大の過去問もやると良い」とか言うつもりは無いですけど。

 ところで、東北大も確率が無え。

2021東工大。

 無茶振りは無いがストレートに難しい。

難易度:標準(飽く迄「東工大としては」)

昨年比:難化

※「ブログの今後について。」で述べた通り、必ずしも「全ての問題に真面目に解答を付ける」という事はしていません。勿論、全部自力で解ける事は確認しています。

 

1:(1)場合の数;(2)不等式の証明(粗く評価)、誘導「結果の利用」。目標解答時間20分。

テクニックB

記述量AB

発想力BC

総合難易度B

 面白い問題ですが、難しくはありません。

 (1)は良いでしょう。各桁を9以外の9通りから選ぶだけです。但し、最高次だけは0は駄目なんで8通りです。

 (2)は不等式の証明です。(1)から足される項の数は判っていますが、当然、そのまま足す事は出来ません。なので如何するかと言うと、(*)を満たすnについて、大胆な不等式評価

b_n\leq\frac{1}{10^{k-1}}

を行います(kは空気読んで)。普通に考えたら如何考えても収束しなそうな評価ですが、如何やら(1)で項がかなり減っていたみたいで、指数の力により収束し、しかも丁度80です。不等式の証明問題で「粗く評価」は定石ですが、評価の仕方が大胆過ぎてやや発想力重視な気がします。因みに、自然数の逆数和\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{n}って発散するんですが、その証明は、

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\cdots

\gt1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots

=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots

と、本問同様「端に統一する」という粗い評価によって成されます。これを知っていると、発想し易かったかも?

 (2)は絶対取れとは言えない、微妙な難易度です。

 

2:二次曲線と二次方程式の糞怠算数。目標解答時間30分。

テクニックAB

記述量C

発想力AB

総合難易度B

 東工大(の悪い)名物、計算だけの算数です。東工大のこういう問題を出してしまうところ、俺は嫌いです。

 試験場で合わせるのは大変だとは思いますが、これは解けないといけない。

 

3:(1)コンビネーションの定義、nとn+1は互素;(2)離散全称命題の証明(数学的帰納法);(3)ディオファントス方程式(解を持つとして特称条件に帰着→''離散中間値の定理'')、誘導「結果の利用」、素因数、1との大小比較。目標解答時間40分。

テクニックCD

記述量BC

発想力CD

総合難易度CD

 今年コンビネーション多いな。俺は好きですが、難易度的には受験生泣かせでしょう。

 (1)(2)は良いでしょう。コンビネーションは帰納法と相性が良いってのは今年の東大4でも指摘しました。因みに(1)は「a_nは整数列である」ってのを保証する為の設問であり、誘導ではありません(かと言って、a_nが整数列である事、この後別に使う訳ではないのだけどね)。

 問題なのは(3)です。先ずは(2)を誘導と見て、山勘で「まあn\geq4は解無いんでしょ」と予想出来るとやり易いです(やらなくても後から気付けるけど)。今年の九大5に近いですね。って事でn\geq4の場合に解(n,p)が在ると仮定しますが、(2)を頭の片隅に置きつつ{}_{2n}\text{C}_nの分子を並べたものを睨めっこすると、分子n+3, n+4,\ldots,2n-1のどれかがpと一致している筈と判ります。整数問題で素因数に注目するのは常識ですね。また、(解の)存在を仮定したので、``離散変数の中間値の定理''的な発想にも気を回すべきです(2012の東大4に近いです)。このpで辺々割った後、更に各分数と1との大小を考える事で矛盾が出ます。1との大小比較も、離散変数絡みの問題や不等式絡みの問題では、常に意識しておくべき感覚です。今年の名大4(2)での処理とかも、元はこの考え方ですよね。

 (3)は中々難しいです(俺もかなり考えた)。(1)(2)だけで十分ですかね。(3)は好きなんで解答付けておきますね:2021東工大3(3)

 

4:(1)ベクトル(係数比較);(2)2変数の最大最小(数式化→``予選決勝法''→二次函数)、重心のベクトル、内積の定義;(3)連立方程式(二次式混入、二次式の処理(平方完成))、誘導「結果の利用」。目標解答時間30分。

テクニックBC

記述量BC

発想力BC

総合難易度BC

 (1)は良いでしょう。|\vec a|=1とかに注意して係数を比較してやるだけです。F=-2(\vec a+\vec b+\vec c)\cdot(\vec a+\vec b+\vec c-3\vec d)です。

 (2)ですが、3\vec g:=\vec a+\vec b+\vec cと置いてやると、\vec gは(ABCが三角形を成す場合は)ABCの重心を表すベクトルになります。この事から、0\leq|\vec g|\leq1である事は(図形的に)認めて良いでしょう。その上でFを式処理しないといけないと意識していると、内積の定義と併せて次の変形が思い付く事も良いでしょう:

F=-2(3\vec g)\cdot(3\vec g-3\vec d)=-18(|\vec g|-(\cos \theta)|\vec d||\vec g|)=-18(|\vec g|^2-(\cos\theta)|\vec g|).

(※\thetaは空気読んで。)これで、|\vec g|を変数とする二次函数に帰着しました(\thetaも変数なんで、片文字を固定して所謂``予選決勝法''をした事になります)。

 (3)は、(2)のFが最大になるのが\theta=0, |\vec g|=1/2の時である事を踏まえ、方程式を立てて解くだけです。\vec a:=(x,y,z), \vec b:=(a,b,c)として:

・これ等が球面上の点を表すベクトルである事;

\theta=0である事;

\vec gが重心である事,

に注意し、連立方程式を解いていきます。しかしながら、そうすると

64x^2-112x+z^2+49=0\cdots

という2変数の式だけが残ってしまいます。一瞬「答は変数込みか?」とか思いますが。ここで★にもう少し二次式としての変形(つまり平方完成)をしてみると、

\Longleftrightarrow 64\left(x-\frac{7}{8}\right)^2+z^2=0

と綺麗に定数項が消え、x=7/8, z=0と判ります。成程、初めは「何でCの成分こんな糞汚えんだよ怠いな」と思っていましたが、答を一意にする為の調整だったんですね。上手です。

 上手な設定の下で1つの目的に向かって様々な知識を問う、とても良い問題だと思います。(3)の★の式変形だけ、少し手を動かすハードルが高めな気がします。

 

5:(1)「円の包含」と「円の中心からの距離と半径の大小関係」の言い換え;(2)「円の包含」と「円の中心からの距離と半径の大小関係」の言い換え、「文字定数は``工夫して''分離せよ」、二次式の処理(平方完成)、誘導「方針の利用」?;(3)求積(y軸回転体)。目標解答時間35分。

テクニックC

記述量C

発想力C

総合難易度C

 これも4(3)同様、(2)で少し気の利いた考察が必要になります。

 (1)は良いでしょう。中心からの距離が常にa以上になれば良いだけです。この様に「円の領域への包含を、円の中心からの距離と半径の大小関係に注目して議論する」というのは、大学で数学をやっている人間は「開集合(「境界を含まない集合」を表す専門用語)」の議論で慣れているんですが(知ってる人向けに話すと、イプシロンボールの議論ですね)、受験生にとっても常識かと言われたら、ちょいちょい微妙な気がします。``接する⇔重解''とかは勘弁してください。放物線の場合と違って、グラフの考察とかしても正当化出来ないでしょ?使うなって事です。

 (2)も(1)と同じ方針なのは良いと思うんですが、そうして立式していくと、

{}^\forall t\in\mathbb{R}, t^8-2at^6+(1+2a)t^4+(1-2a)t^2\geq 0

を満たすa\gt0の範囲が求めるものと判ります。「よっしゃ、t=0の場合は常に成り立つから。0\lt t^2=:Xとしてこいつで辺々割って文字定数分離だ!」と普通ならやるんですが、場合分けが煩雑な上に極値がとてもじゃないけど計算出来ねえ。仕方無いから、文字定数分離の直前のところから方針を考え直します。

{}^\forall X\gt0, X^3-2X^2+(1+2a)X+(1-2a)\geq0\cdots

なら良い訳ですが、ここで文字定数aをXごと分離すると場合分けが生じてうざいので、文字定数を工夫して分離して、

\Longleftrightarrow {}^\forall X\gt0, X(X^2-2X+1+2a)\geq 2a-1

ここで注目したいのが、左辺括弧内の二次式です。これに二次式の処理(つまり平方完成)をしてみると、(X-1)^2+aとなり、a,X\gt0に注意すれば、如何やら左辺は常に正みたいです。X\rightarrow+0の時は左辺は0に近付くんで、つまり☆の成立には2a-1\leq0であれば良いと判ります。「文字定数は``工夫して''分離せよ」に加え、4(3)の★の変形同様、再び二次式の平方完成がポイントだった訳ですね。よく考えたら、☆の変形に近い変形を(1)でもやっているので、ひょっとしたら東工大の先生は「方針の利用」のつもりで出題されたのかも知れません。まあでも、この見方は流石に無理が在る気がします。色々勉強出来る良い小問だとは思いますが、試験問題で解くのは大変でしょう。

 (3)はもう勘弁してください。円の半径の大きさで場合分けも生じますよね?怠過ぎ。いやまあでも数III勉強したかを問う問題としては悪くは無いと思います。少なくとも2よりか全然マシな問題。

 (2)は試験場では難しいでしょうねえ。でも、(2)が出来なくても(3)には取り組めるんで、被害は少なく済む気がします。

 

 

 絶対取らないといけないのは1(1),2,3(1)(2),4(1),5(3)ですかね。これだと未だギリ半分無いと思います。1(2),4(2),5(1)は、少し高度だけど東工大生なら食らい付けないと駄目だと思います。この3つの中から2つ押さえた6割前後くらいが合格者平均なんじゃないかと思います。1(2)の粗い評価、4(3)の★の変形、5(2)の「文字定数は``工夫して''分離せよ」の様に、今年は「思い切った方針選び」が明暗を分けた問題が多かった様に思います。が、普段から「詰まったら前に戻って解法選択のやり直し」を徹底していれば、そんな`に`難しい''って程ではないと思います。3(3)は中々難しいと思いますが、指摘した通り2021の東大4とかを経験していると、案外すんなり行けたかもです。``難問''って程ではない。トップ層なら十分、満点が狙えたんじゃないですかね?

 てか東工大も確率無え!まじで統計中心のカリキュラム改変が嫌なんですかね?

 後は東北大と北大ですね。明日から4日間研究集会なんで、また止まるか、或いは面倒臭くてやらないかもです(忙しいアピール研究してますアピール俺大好きアピール…)。

2021名大理系。

 前半2題が随分と易しく、一昨年迄の易化傾向時の難易度に戻りました。

難易度:やや易

昨年比:易化

※「ブログの今後について。」で述べた通り、必ずしも「全ての問題に真面目に解答を付ける」という事はしていません。勿論、全部自力で解ける事は確認しています。

 

1:二次方程式、求積(数IIの微積)、最大最小(二次函数)。目標解答時間25分。

テクニックAB

記述量BC

発想力A

総合難易度AB

 長いですが、各小問はチャート式の例題に在るやつばかりです。特にコメントの必要は無いでしょう。

 

2:対数、大小比較、解と係数、誘導「結果の利用」。目標解答時間20分。

テクニックAB

記述量B

発想力AB

総合難易度AB

 (1)は底の変換公式です。

 (2)は大小比較です。\sqrt2とかの適当な近似値は使って良いと思います。

 (3)は解と係数の関係の学習直後の定期テスト問題です。後は(2)を使えば、実質「(負の数)×(正の数)=(負の数)」とかを聞いているだけです。まあ(1)から

\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha

である事も、ポイントっちゃあポイントですかね(誘導「結果の利用」)。

 

3:確率(該当パターン全調査、排反)。目標解答時間45分。

テクニックAB

記述量CD

発想力B

総合難易度BC

 いやこれは全パターンの確率計算すりゃ良いだろ。ひょっとしたら他に上手いやり方が在るのかもだけど、考えるのも面倒臭え。中々の計算量でしたが、4題で150分って試験時間と1,2が簡単だった事も考えると、妥当な方針だと思います。「どれか1つを等しい確率で選び…」って仮定が在るんで、次の数字を選ぶ確率は``現在地''だけで決まります。何度も使うんで、先に``現在地''毎に一覧表にでもしておくと便利だったと思います。11への到達方法は、``最短経路の場合の数''の問題での考え方なんかに近い気がします。他にも、例えば「p_{11}の計算で(a)で1を選んだ場合の確率の計算には、(a)で2を選んだ場合とかの結果が使える」「p_5は排反を考えれば良い」とか色々工夫が出来ます。前者は確率漸化式っぽいっちゃあぽい気がします。

 「全部調べろ」という方針を採れたか如何かが大きな勝負の分かれ目だったでしょう。他にも、排反や確率漸化式っぽい考え方でどんどん計算量が減らせるんで、悪い問題ではないと思います。

 

4:離散変数の総合問題;(1)(2)ガウス記号の処理;(3)ガウス記号の等式の証明、誘導「結果の利用」(前問の対偶を考える)、離散変数の不等式の取り扱い(0\leq m-n\lt {}^\exists r\lt 1\Rightarrow m=n);(4)漸化式(解く)、誘導「結果の利用」。目標解答時間40分。

テクニックBC

記述量BC

発想力C

総合難易度BC

 名大名物「離散変数系統の総合問題」です。名大はガウス記号、好きですね。

 (1)はまあ、頑張ってください。

 (2)はつまりa_n\geq[a_n]+1/2って事なんで、こいつを漸化式にぶち込んでやれば良いです。途中:

a-[a]aの小数部分;

[a]\leq a\lt[a]+1\Longleftrightarrow a-1\lt[a]\leq a

 を利用します(ガウス記号の問題を見た時点で頭に用意しておかないといけない知識)。

 (3)について、先ず1つ目の式は最初の漸化式と比較する事で、[a_n]=[a_n+1/2]が示されれば良いと判りますが、これは

a_n\gt a_{n+1}

\Longleftrightarrow a_n\gt3[a_n+1/2]-2a_n

\Longleftrightarrow a_n\gt[a_n+1/2]

\Longrightarrow[a_n]+1\gt[a_n+1/2]

\Longleftrightarrow(0\leq)[a_n+1/2]-[a_n]\lt1

となり、ガウス記号は整数である事から最後の不等式は[a_n]=[a_n+1/2]を意味する事から判ります。2つ目の式については(2)の対偶利用を考えましょう。a_n\lt a_{n+1}の否定はa_n\geq a_{n+1}ですが、これは当然、問題文の仮定a_n\gt a_{n+1}から従うので、(2)(の対偶)からa_n-[a_n]\lt1/2を得ます。即ちa_n\lt[a_n]+1/2であり、これを既に得たa_{n+1}=3[a_n]-2a_nに適用し

a_{n+1}\gt 3[a_n]-2([a_n]+1/2)=[a_n]-1

を得ます。従って、仮定a_n\gt a_{n+1}と合わせ、

[a_n]\geq[a_{n+1}]\geq[a_n]-1

となるため、[a_{n+1}]=[a_n]\text{ or }[a_n]-1が判り、前者を否定すれば良いと判ります。その為に、前者であると仮定してみましょう(背理法)。即ち、a_{n+1}\geq[a_{n+1}]=[a_n]です。すると、再び先の漸化式から

[a_n]\leq a_{n+1}=3[a_n]-2a_n\Longrightarrow a_n\leq[a_n]\Longleftrightarrow a_n=[a_n]

となります。しかしこれは

a_{n+1}=3[a_n]-2a_n=a_n

を導き、問題文の仮定であるa_n\gt a_{n+1}に矛盾します。

 (4)は良いでしょう。(3)から、1\leq i\leq k-1に対して

a_i

=3[a_{i-1}]-2a_{i-1}

=3([a_{i-2}]-1)-2a_{i-1}

=\cdots

=3([a_1]-(i-2))-2a_{i-1}

=-2a_{i-1}-3i+6

となり、この漸化式を解くだけです。

 (1)(2)はガウス記号の標準的な処理を行うだけなんで、是非取りたい。一方で(3)は、離散変数の定石と既出の条件を、色々と場面に合わせて理詰めに組み合わせないといけないんで、結構な難易度だと思います。(2)迄出来れば合格には十分かな?

 

 

 1,2,3(1)は絶対に解けないと駄目ですね。計算ミスを考慮しても、これで半分は確保です。これでまあ、最低限足を引っ張らない程度の得点率ですかね?3の後半や4(1)(2)から集めて、6割強くらいが合格者平均だと思います。4の後半は中々に難しいと思います。

 あー東工大やりたくねー。