２０２０東北大理系。 - 元九大数理研究員の入試数学語り。

後味良く解けて楽しかったです。

難易度：やや易

昨年比：易化

１：(１)三角比の計算；(２)図形量のMaxmin(数式化し二次函数に帰着)、座標設定、誘導「結果の利用」。目標解答時間１５分。

テクニックＡＢ

記述量ＡＢ

発想力ＡＢ

総合難易度ＡＢ

　(１)は良いでしょう。

　(２)ですが、(１)を使って極座標的な考えで座標設定しろって事でしょう。でも(１)無しでも同じ事が出来ないと駄目です。

　誘導の使い方と座標設定と云う、教科書学習時には触れる機会が少ないであろう受験数学の常識２つがコンパクトに詰まった、良質なお子様ランチみたいな問題です。勿論、東北大理系志望者が解けないのは論外です。

２：(１)中学生の連立方程式；(２)直線と円が交点を持つ条件(点と直線の距離の公式)；(３)誘導「結果の利用」「方針の利用」、和集合の表記。目標解答時間２０分。

テクニックＡＢ

記述量Ｂ

発想力ＡＢ

総合難易度ＡＢ

　(１)(２)は良いでしょう。

　(３)ですが、(２)に則りCとMの関係も求め(一応「方針の利用」)：

・片方と２交点で交わりもう一方とは接し、しかも２交点と接線は異なる；

・両方と２交点で交わるけど交点１つは一致，

の２通りを考えます。後者は(１)の結果の利用ですね。和集合の表記ってだけでビビってしまった受験生がいるかもです。

　１に引き続き、受験初心者向けのお子様ランチ問題です。でもこれも(１)(２)無しでも解けないと駄目です。

３：不定方程式；(１)離散不等式(二項展開)；(２)誘導「結果の利用」；(３)誘導「結果の利用」、しらみ潰し。目標解答時間２０分。

テクニックＡＢ

記述量Ｂ

発想力ＡＢ

総合難易度ＡＢ

　(１)ですが、まあ

$3^n=(2+1)^n\gt 2^n+n2^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}2^{n-2}$

でしょう。俺は「二項不等式」と呼んでいます。左辺を引くと

$(2^{n-3}-1)n^2+3\cdot2^{n-3}n-8$

となり、これが作題者側の模範解答である事が直ちに判ります。

　(２)は(１)より答の候補がn=1, 2のみと判ります。計算すれば両方共答です。

　(３)は(２)からn=1, 2のみで、後はしらみ潰しです。

　(３)だけで良い気がします。(３)だけなら総合難易度Ｂ～ＢＣくらいですかね。

４：確率(該当パターン全調査、確率のMaxmin)。目標解答時間２０分。

テクニックＡＢ

記述量Ｂ

発想力Ａ

総合難易度ＡＢ

　玉を出したり入れたりする問題です。えっちですね。

　(１)(２)は良いでしょう。でも(２)は取り出し方全パターン計算しなきゃなので、まあまあ怠いです。色が関係するのはここ迄です。

　(３)も５個目はn回目で取り出し、残りの４個をn-1回の何処で取り出すかを計算するだけです。

　(４)は数列の最大値です。 $p_{n+1}$ と $p_n$ で共通因子が沢山有るので、比を考えると良いと思います。

　玉５つがまあまあ多くて計算がうざいです。３つで良いだろ。玉マニアかよ。

５：複素平面；(１)(２)複素数計算誘導；(３)複素平面の軌跡(円周、連続性)、誘導「結果の利用」。目標解答時間２５分。

テクニックＢ

記述量Ｂ

発想力Ａ

総合難易度Ｂ

　(１)(２)は良いでしょう。

　(３)は(２)より円周上ですが、(１)のパラメータ考察する事で円周上半分と判ります。上半分全てを取る事はパラメータの連続性とかで議論します。集合の一致の議論ですね。

　去年の九大５の後半が全く同じ問題で、うちの某教員が各予備校の解答速報の集合の一致の議論が甘い事を指摘しプチ炎上しました。その先生は去年から確か東北大に移動したので、恐らく彼が出題したのでしょう。皮肉が効いていて良いと思います。(３)で円周の上半分を漏れ無く動く事の議論は、記述出来ていない受験生が多そうです(しかし本人は満点のつもり(笑))。２(３)に引き続き、集合の理解を問うている感じが窺えますね。これ等の議論が出来ない事は、数学を勉強した事が無い事の、極めて強い十分条件です。予備校の解答速報も一寸見ましたが、今年はちゃんとしてますね。

６：(１)積分漸化式(置換積分)；(２)定積分計算(fgg')；(３)積分漸化式(fgg'と置換積分の合わせ技)、誘導「方針の利用」；(４)誘導「結果の利用」。目標解答時間２５分。

テクニックＢ

記述量ＡＢ

発想力Ｂ

総合難易度Ｂ

　(１)は良いでしょう。１つ目は $t:=x-\pi/2$ の置換、２つ目は $\cos^2+\sin^2=1$ です。