難しくて学歴コンプレックスが解消出来ません。
難易度：やや難
昨年比：難化
１：多項式方程式の複素数解(実数係数三次式は実数解を持つ、実数係数多項式の解の共役も解)、1:2:の初等幾何、解と係数。目標解答時間２５分。
テクニックＢ
記述量Ｂ
発想力ＢＣ
総合難易度ＢＣ
偉そうに目標解答時間２５分と書きましたが、俺は１時間半は掛かりました💩やられました。多項式の問題なので、解と係数は常識ですが、その前に、タイトルにも書いた通り、こいつが実数解を持つ事と残りの複素数解が互いに共役である事に気付かないと、恐らく全滅します。いや、受験生には常識なのでしょうか？後はお絵描き込みの算数です。１８年の東工大１とか近いですかね。
京大では多項式方程式の複素数解の考察、多くはないですが定期的に見る気がします(１６の６とか)。
初手としては個人的に最悪でした(後回しにした)。まあでも１つの事に気付かないと何も出来ないってのは、京大らしいっちゃあ京大らしい気もします。
２：(１)多項式方程式の解(解と係数の関係)、数学的帰納法(二段仮定)；(２)誘導「結果の利用」、極限(三角函数、直接計算、計算可能なものを無理矢理作る)。目標解答時間２５分。
テクニックＢ
記述量Ｂ
発想力Ｂ
総合難易度Ｂ
(１)ですが、多項式が２題目ですね。こっちは簡単です。一応、二段仮定の帰納法ですが、まあその事を一寸指摘しつつ「帰納的に明らか」くらいで良い気がします(俺もそうしました)。
(２)ですが、勿論(１)の利用で、得られた結果を利用する為に加法定理でをばらしてやります。勿論、
は死にます。
から
が判るので(この際、
が実数である事は指摘しておくべきでしょう)、ここから計算出来る三角函数の極限
を作り出します。
も
で処理可能です。しかし最後に
が残り、これがそのままでは処理出来ないので、更に
と見て、加法定理で処理していきます。
多項式方程式の解の考察の後に極限って流れは１２の九大３に近いです(の件とかそっくり)。(２)の極限は色々と先読みしながら式変形しないといけないので、決して易問ではない気がしますが、しかしこれでも恐らく本セットでは１番易しいと思われます。
※うぉい！最初からってすりゃあいけるやんけ！他の人の解答速報見て知りました。
３：空間図形(座標設定、「一般性を失わない」、平面の方程式)、「内積は影の長さの符号付き掛け算」。目標解答時間３５分。
テクニックＢ
記述量Ｃ
発想力Ｂ
総合難易度ＢＣ
少ない情報から様々な図形に関する設定を自力で行わないといけない京大らしさと、処理量が膨れると云う非京大らしさが混在した問題です。
先ずはとして良いのですが、この様な設定の要求は正しく京大の問題です。１９の３や１８の３とかと近いでしょうか。最近多いですね。一方で
や
の設定にはもう一工夫必要で、内積の図形的な翻訳である「内積は影の長さの符号付き掛け算である」ってのを意識しながら、
や
が存在する平面の方程式を立式していきます。これさえ気付けば後は作業ですが、この作業の計算量が中々で、しかも絵を描く過程で冷静に空間把握する能力も必要とされる気がします。やる事は判っている立体図形の問題で処理量だけが膨れる、ってのは、東大っぽくて個人的に最悪です。１８年の５もそうですが、最近、東大化している問題が増えてきていて嫌ですねえ。
そんなに難しい感じではないですが、易しい訳でもなく、微妙なラインです。
４：因数３の数え上げ(３による剰余類、3進付値(笑))。目標解答時間４０分。
テクニックＢ
記述量Ｃ
発想力ＢＣ
総合難易度ＢＣ
取り敢えず３の倍数性に注目するので、３による剰余類なのは良いでしょう。であり、これで場合分けしながら
が少しでも多く３で割れる様に考察していきます。
(イ)の時：
なのでであって欲しくて、
で、こっちでは如何あがいても３では１回しか割り切れない。
(ロ)の時：
なのでであって欲しくて、
なのでであって欲しくて、ここでちょいちょい
から
より
しか無理である事に注意しつつ
からであって欲しいです。ひょっとしたらもっと絞れるのかも知れませんが、俺はもうここでしらみ潰しに入りました(高々
の１０個の整数の３乗計算)。但しごめんなさい、余りにうざくて俺は近くに在った電卓使いました💩
いや整数がこれ迄の「実験→予想→証明」のパターンから脱却したのは良いのですが、殆ど力業なのはかなり嫌です。但し、その力業の実行にかなりの腕力が必要なので、まあ悪問って訳でもない気もします。因数数え上げの類題って意味では、１５の東大５や１７の九大３とか近いですかねえ？
※うぉい！んとこ、更に
を
で考えりゃ
やんけ！「っしゃ後はしらみでいける！」ってなって脳みそ筋肉になってたわ。
５：場合の数(該当パターン全調査、非パターンな「最初の一手で場合分け」(完全順列に近い))、対等性。目標解答時間４０分。
テクニックＢ
記述量Ｃ
発想力Ｃ
総合難易度Ｃ
俺はよくは知らないのですが、これは恐らく有名問題でしょう(ナンプレ？)。
俺は如何解いたかと云うと、先ずi行目且つj列目をi,j成分と呼ぶ事にする事にして、1,1成分kを固定します。そして1,2成分l(≠k, ３通り)を固定します。更に2列目の何処にlを置くか、つまりi,2成分のi(≠1)の３通りを考えます。そして、ここでi,1成分がlかそうでないかで場合分けをします。恐らくここが俺の解答の最大のポイントで、元ネタは「完全順列」と呼ばれる問題の最初の一手での場合分けの処理です。
ここ迄すれば以降の数え上げは文字k, l等の対等性を意識すれば直観的には殆ど明らかなのですが、それをどこ迄「対等性より明らか」と言って良いのかが俺にはもう判りません。最初はあっさり済ませていたのですが、最終的には、厳密性を期す上で必要と思われる記述は図と併せて全部書きました。凄い記述量になりました。最初の解答だけなら記述量Ｂ程度で、恐らくこれで満点貰える気がするのですが、如何なんでしょうかねえ？それと、恐らく漸化式等を用いたもっと綺麗な解答も在る気がします。若し漸化式で解けないのなら、確率(てかこれは場合の数だけど)が非漸化式なのが２年連続です。
さて、最初に述べた通り、本問は恐らくナンプレとか数理パズルが好きな人はかなり解き易く、こう云う数学以外の素養で大きく出来に影響する問題は個人的に凄く嫌です。この経験が無い人にとっては、恐らく本セット中、最難問であると思われます。
６：三次元回転体。目標解答時間２５分。
テクニックＢ
記述量Ｂ
発想力ＡＢ
総合難易度Ｂ
易問ではありませんが、理系に在りがちな三次元回転体です。但し、断面の最長距離の考察に少し立体的な視点が必要です。大問３の一部と似た力が要求される気がします。
京大の微積には１８の６や１６の４の様に三次元回転体が時々出ますね。
さて、今年は中々に難しかったと思います。俺は４で電卓使う反則をしておきながら、試験時間終了時点では１は白紙で、５も対等性に頼り厳密な記述は出来ていないままでした。恐らく試験場では４完半分位しか点数貰えなかったと思います。解答が全部完成したのは、試験時間を１時間半近くオーバーしてからでした。年々、スピードが落ちてきている気がします。２７歳って未だ全然若い気がするのですが…
明らかに難化ではありますが、－２０００して３の倍数となる年(i.e., ２００９，２０１２，２０１５，２０１８)の様な難問による難化ではなく、全問そこそこ難しい。雑魚が１問もいないのは、京大としてはかなり珍しく、東大みたいです。って事で、難問はいないため、満点の難易度はそこ迄高くはない気がしますが、一方で数学が苦手な人の中には全滅したって人もいるのではなかろうかと推察されます。合格点も、２，６に加え何とかもう１問分取って半分も確保出来ていれば十分な気がします。
取り急ぎ解いてブログにしたので、明日以降に解答を付け足したりするかもです。
