２０２０阪大理系。 - 予備校講師採用試験に２回落ちた九大チンカス研究員の入試数学語り。

簡単そう過ぎて机に向かって解く気も起きないので、解きながらブログも書きます。

難易度：おちんちんが生える程易

昨年比：おちんちんが取れる程易化

１：数Ⅲの微分の教科書章末問題。目標解答時間１５分。

テクニックＡ

記述量Ａ

発想力Ａ

総合難易度Ａ

　何だこれは？生きていれば解ける様になる。

２：確率漸化式の傍用問題集例題。目標解答時間２０分。

テクニックＡＢ

記述量ＡＢ

発想力Ａ

総合難易度ＡＢ

　まじか。申し訳程度に複素数で書いていますが、要は正六角形上の点の移動です。これも生きていれば解ける様になる。

３：明示されていない値に関する不等式の証明(数式化(正弦定理)、微分)、数Ⅲの定期テスト問題。目標解答時間２０分。

テクニックＡＢ

記述量ＡＢ

発想力ＡＢ

総合難易度ＡＢ

　さて、解いてみましょう。

　明示されていない値に関する不等式の証明なのですが、まあ数式化でしょう。 $\theta:=\angle ABC$ とするのは良いでしょう。正弦定理より

$\frac{b}{\sin\theta}=\frac{c}{\sin n\theta}$

$\Leftrightarrow c=\frac{\sin n\theta}{\sin\theta}b$

ですよね。なので

$\frac{\sin n\theta}{\sin\theta}\lt n$

を示せば十分です。成り立ちそう。

$f(\theta):=n\sin\theta-\sin n\theta$

とでもして微分でしょう。但し、周期性のせいで常に0より大ではなさそうなので、範囲を絞っておきましょう。 $\theta$ は三角形の内角なので

$0\lt \theta+n\theta\lt \pi$

$\Leftrightarrow 0\lt \theta\lt \frac{\pi}{n+1}$

ですかね。面倒臭いので手元で計算しましたが、微分すればこの範囲では $f(\theta)$ は0より大になりました。めでたしめでたし。

　いや嘘やろ。糞易問。

４：二次方程式の２解( $\beta-\alpha$ が綺麗になるやつ)、数Ⅲの面積(パズル、「 $\alpha$ と置いて先に進め」、対称性)、極限計算(多分算数、分子の有理化は多分する)、目標解答時間２５分。

テクニックＢ

記述量Ｂ

発想力ＡＢ

総合難易度Ｂ

　交点がまあまあ怠そうですね。でも恐らく算数です。交点のx座標は $x(t-x)=1$ の２解ですね。「 $\alpha$ と置いて先に進め」が得策でしょうか。小さい方から $\alpha, ~\beta$ とします。

(台形の面積)＋(積分計算)＋(三角形の面積)

を計算しましたが、汚くてこれ以上計算をしたくないです、如何しましょう？扱っている値が二次方程式の２解なので、出来るだけ対称性を保ちたいです。パズルを考えて対称性を保つ面積計算に変えます。１４の京大６に近いですかね。

(一辺tの直角二等辺)－(はみ出ている部分)

でしょうかね。計算したら $\beta-\alpha$ が沢山出てきました、これで計算出来そうです。二次方程式の２解である事を意識しつつ整理したら常識的な極限計算に帰着されました。大した量ではなさそうですが、面倒臭いのでもう計算は止めます。すまんこ。

５：(１)明示されていない値のMaxmin(数式化、座標設定、文字の変域注意(三角形の成立条件より))、軌跡の解法選択(楕円)、楕円上の点のパラメータ表示；(２)Maxmin(二次方程式)。目標解答時間２５分。

テクニックＢ

記述量ＡＢ

発想力Ｂ

総合難易度Ｂ

　最後はまあまあ怠そうですが、まあこれも多分、算数でしょう。

　(１)態々一文字固定のヒントを付けてくれるんですね。鈍角の場合も考えなきゃいけないのは怠いです。いや、でもこれ、軸でない２辺の和が一定2-aだから、楕円っすわ。使いそうだけど使わないかも。これは適当に思い付いてしまいました。まあでも「点Pの軌跡の問題」と言えるので、そこから解法選択すれば必ずいつでも思い付ける筈です。さて、これを使って座標設定しましょうか。計算しました。

$B=(a/2,0), ~C=(-a/2,0), ~A=(\frac{2-a}{2}\cos\theta,\sqrt{1-a}\sin\theta)$

と座標設定します(三角形の成立条件より、a<1を注意しておきます)。対称性より $\theta\leq\pi/2$ としておきましょう。計算すれば鈍角三角形の場合含め体積は $\frac{1}{3}\pi a(1-a)\sin^2 \theta$ となります。 $\theta=\pi/2$ で最大ですね。勿論、この時、直角二等辺です。