※本記事は、以前ヤフーブログ「予備校講師採用試験に２回落ちた九大チンカス院生の入試数学語り。」にて2016/2/25に掲載した同名の記事を、ヤフーブログサービス終了に伴い加筆、修正し転載したものです。
難易度：やや易
昨年比：易化
１：(１)Maxmin(微分、「αと置いて先に進め」)；(２)極限(eの定義式に帰着)。目標解答時間１５分。
テクニックＡＢ
記述量ＡＢ
発想力Ａ
総合難易度ＡＢ
初っ端から小問付きで身構えてしまうかもですが(京大の小問付き問題はやばい誘導利用問題である事が多い)、本問は至って穏やかです。
(１)はまあ微分でしょう。但し、極値を与えるθの値が求まらないので、αとでも置いてそのまま進みます(「求まらない値はαと置いて先に進め」)。
(２)の極限計算は一般に挟撃か公式に帰着か粗く評価するかの孰れかですが、本問はeの定義式に帰着でしょう。
小問毎に問うているポイントが大変明確で、微分学習直後の高校生向けに丁度良い良問です。勿論、京大入試で出題されたなら完答必須です。
２：整数(偶奇性、偶素数は2のみ、実験し予想し証明、剰余類、mod算)。目標解答時間２０分。
テクニックＢＣ
記述量Ａ
発想力Ｂ
総合難易度ＢＣ
抑え目な記述量の中に整数問題のテクニックがふんだんに含まれた、京大らしい実に良い問題です。この実験して剰余類に帰着させる流れは２００６の４でも同じ問題が出題され、その後阪大２０１３の３等にも出題されている必須技法ですね。ただ、本問は実験以外にも：
・事前に偶奇性の考察が必要；
・3の剰余類では失敗するので、その前に偶奇性を使った事にも注目し6も剰余類，
等の処理が必要である事から、先に挙げた問題達よりももうワンランク上の問題です。絶対取れとは言えない、微妙なラインですね。
良い問題なので、解答を載せておきます。
３：幾何の解法選択(初等幾何)。目標解答時間１５分。
テクニックＡＢ
記述量Ａ
発想力Ｂ
総合難易度Ｂ
目標解答時間１５分とか偉そうな事を書いてますが、俺はこいつに４０分以上持っていかれました(汗。やられました。俺は完全に大物の幾何論証だと目測を誤り、座標設定とかベクトルとか要らん事しまくってしまいました。図形の基本は、先ずは初等幾何で分かる事を調べ尽くす、ですものね。これさえ押さえていれば、最初の段階で「あーこれ只の算数だ。」と解る訳です。外心の考察を３次元に移行する、類題は２０１１の大取でしょうか(あっちの方が難しいですが)。
でも、こう云う１つの事に気付くかどうかで大きく点差が開き得る問題は、その日の体調等により頑張って勉強したした受験生が落とし得て、一方で一寸パズルが得意なだけの野郎が満点をさらう恐れがあるので、個人的に入試問題としては如何なものかと思います。まあ初手で命運が分かれるなんてのも京大らしい問題と言えばそうなのですが、これは余りに極端。せめて後者の受験生共に点数を与えない為にも、もう一工夫しろよって感じです。難易度判定が一寸難しいですが、初手の方針の誤り易さからＢ難度だと思います。
と云う訳で、自分への反省も込めて、本問も解答を載せておきます。
４：三次元回転体。目標解答時間２０分。
テクニックＢ
記述量Ｂ
発想力ＡＢ
京大の三次元回転体なので一瞬びびりますが、本問は至って平凡です。唯一のポイントは、与えられた式が一寸複雑なので、それに惑わされず冷静に断面が考察出来たか否かでしょうか。これが出来ない人が如何すれば数学を普通のレベル迄出来る様になるのかは、申し訳有りませんが俺には判りません。
まあ完答必須だったでしょうね。
５：確率(n、漸化式、対称性)。目標解答時間２０分。
テクニックＡＢ記述量Ｂ
発想力Ａ
総合難易度ＡＢ
京大理系志望なら飽きる程対策したであろう確率漸化式です。補助数列を置くのも常識ですよね。取り敢えず求めたい確率をとした後は、対称性を活かす為にx=1ではなくx=2の方を
とした方が若干処理量が減る気がしますが、別に何も考えずにx=1の方を
としても普通に解けます。
これも落とす方が難しいです。
６：多項式の決定(因数定理、解と係数)、場合分けと十分性のチェック、必要性から絞る、1の三乗根の性質、対称性による議論の省略、基本対称式と連立方程式。目標解答時間４０分。
テクニックＣ
記述量ＣＤ
発想力Ｂ
総合難易度Ｃ
前年５に引き続き、京大名物多項式決定です。多項式が割り切れる割り切れない系の問題は基本的に：
・剰余の定理；
・因数定理や因数分解で因数考察，
の２通りで、前年が前者だったからか、この年は後者となっています。多項式周辺の様々な技術を要求してはいますが、高度な思考力を要求する様な部分は余り無く、普段から確りと論理を意識した答案を書いている人なら、時間さえ有れば確実に解ける問題だと思います。一方で、普段から答さえ出れば良いと場合分けや十分性を軽視している人は先ずまともな答案を書けないと思われるので、数学の選抜試験としては非常に良い問題だと思います。恐らくこの年は、本問を解けたつもりで自己採点をして、でも開示を見たら予想よりずっと点数が低かった、って人が多かったんじゃないですかね。
本問、予備校やらの答案も幾つか見ましたが、案の定、どれも十分性に関する記述が何かしら甘いものが殆どだったと記憶しています。なので解答を載せておきます。
解答(画像じゃなくてすまんこ)：２０１６京大理系６.pdf - Google ドライブ
易しいですが、京大らしい問題の多い年でした。普通の理系生なら理系の標準問題である１，４，５を確実に押さえ、２か３から１問は取れるレベルに達しておきたい。医学科志望、数学科進学希望者は「この年の過去問は物足りねえなあ」とか言いながら満点取らなきゃ駄目なレベルですね。
