※本記事は、以前ヤフーブログ「予備校講師採用試験に２回落ちた九大チンカス院生の入試数学語り。」にて2017/2/28に掲載した同名の記事を、ヤフーブログサービス終了に伴い転載したものです。
難易度：標準
昨年比：若干難化
１、双曲線、目標解答時間１５分。
テクニックＡ
計算量Ａ
発想力Ａ
総合難易度Ａ
双曲線の接線の式は覚えておいて下さい。３点同一直線上条件ですが、ベクトルでも傾きでもどっちでも良いです。完全なるサービス問題です。これは貰いでしょう。
２、確率(全数調査)、複素平面での複素数の和、１の５乗根、対称性、(正五角形、cosの倍角公式と多項式、)目標解答時間３０分。
テクニックＢＣ
計算量ＡＢ
発想力Ｂ
総合難易度Ｂ
(１)は覚えておいて下さい。(２)も良いでしょう。
(３)ですが、基本的に全数調査しか無いと思います。しかし、本当にまんま全数はやってられないので、対称性から出来る限り扱わなければならないパターンを減らします。殆どの値は簡単に考察可能ですが、１パターンだけ、cos(2/5π)についての考察が必要になると思います。有名な数値なので、覚えていればそれで構わないと思いますが、そうでなければ三角函数について技術的にやや高度な考察が必要になると思います。詳しくは解答をご覧下さい。
絶対取れとは言えない気がします。微妙ですねぇ。
３、不等式の証明(特別な不等式)、誘導(結果の利用)、整数、離散中間値、目標解答時間３５分。
テクニックＢＣ
計算量ＡＢ
発想力ＢＣ
総合難易度ＢＣ
(１)は不等式の証明です。手法については２０１５の東工大の記事をご覧下さい。本問は「特別な不等式の利用」ですが、問題文で与えられたものと、有名不等式(三角不等式)の両方を駆使する必要があります。分かってしまえば記述自体は少な目で済む、良い問題です。
(２)は不等式の整数解の問題です。基本的には絞込みしか無いと思います。そこで(１)の不等式ですね。誘導、結果の利用です。形から推察される通り、√７の消去に用います。弄っているとa^2が両方向から挟まれる不等式が出て来ますが、ここが場合によっては発想力勝負になるでしょう。√７の無理数性から７b^2≠a^2ですから、左右辺の値は２以上ズレている必要があります。極々素朴な「整数間の幅は１」と云う事実に基づく考えで、この呼び方が適切かどうかは微妙ですが、僕は“離散中間値”等と勝手に呼んでいる技術です。近年だと、２０１６東大５、２０１３名大理系２辺りで見られました。整数問題を解く上では常に意識しておきたい事実の１つですが、前述の通り解けた受験生の大半はその場での思い付きだった事でしょう。後の絞り込みでの記述は、掲載した解答程度で良いと思います。別にこんな算数みたいな事を細々と聞く為の問題ではないでしょう。
さて、本問は無理数√７の有理数での近似がテーマで、「ディオファントス近似」と呼ばれる分野に該当します。興味を持たれた方は、「リウヴィルの近似定理」「ジーゲル・ロスの定理」なんて調べてみると、似た形の不等式を見る事が出来ると思います。因みに、一部界隈で非常に有名な「abc予想」と云う(未解決？)問題も、技術的には遥か彼方ですが、出所はこの分野だったりする様です。
４、線型計画法、1/6公式、目標解答時間２５分。
テクニックＡＢ
計算量Ｂ
発想力ＡＢ
総合難易度ＡＢ
二次函数について問うている様に見えますが、線型計画法の問題です。
(１)ですが、言われた通り条件を不等式にすると、線型計画法の問題だと分かります。見て直ぐにはそうだと分からなくても、数値の範囲、つまり最大値最小値の問題なのですから、その解法選択から気付けます。
(２)も(１)と同様ですが、今度は動くのが放物線なので、(１)の様に領域の頂点だけ見ていては駄目です。案の定、最小値の方で接線に関する議論が絡みます。
(３)は紛う事無き1/6公式です。「b残っとるやん！」って一瞬ヒヤッとしますが、消えてくれました良かった良かった。
１に続く易問です。取れないと不味いでしょう。
５、三次元求積、パラメータ設定(未知角)、dθではなくdt、目標解答時間３０分。
テクニックＢＣ
計算量ＢＣ
発想力Ｂ
総合難易度ＢＣ
最後は標準的な３次元求積ですね。「全体の形を考えるな、断面積だけ取り上げろ！」(by荻野暢也先生)です。このテーマ自体ちょっと高級なので、難易評価は高めです。
(１)ですが、これが無くても自力でθを置ける様になって下さい。角度を未知数に設定する事が苦手な方が多い事を注意しておきます。
(２)ですが、積分はθについてではなくtについてです。どうしてだか解らない方は大急ぎで復習し、積分で面積や体積が求まる事について「理解」して下さい。(１)でS(t)と態々書いて下さった阪大の先生の優しさを汲んで下さい。計算が少々複雑ですが、最後ですし、丁寧に行いましょう。
さて、易問ではありませんが、２，３の様な搦め手の無い、完全なるお約束問題でもあります。本ブログでは頻繁に使う言い回しではありますが、理系ならこう云う問題こそ取りたい。
では全体について、４以外がカスだった昨年と比べ、今年は２，３，５とある程度高度な問題が３問在ります。１，４完答は必須として、残りから１問分(i.e.６割)でボーダー、１問半分(i.e.７割)で合格者平均位でしょうか。代わりに２，３，５共昨年の４程の大物ではない気がするので、満点は今年の方が取り易いかも知れません。
