代数学の初歩の本と、更に代数方面を専攻しようとする人向けに(俺が知っている範囲の)幾つかの分野とその基本文献的なのを紹介しようと思います。一応、多くの人に読んでもらえる様に書きますが、基本的に今年(2020年)の代数Iを専攻してくれた人向けに書きます(例えば「演習問題〇〇に在った様に～」みたいな言い回しを(読み飛ばしても差し支えない範囲で)時々する)。また、俺は博士課程で数学をしている人間の中では、数学力も数学の知識も多分底辺レヴェルなので(九大数学科の中ではトップクラスだったけどね)、特に研究者を目指している様な人は、俺なんかの意見は余り参考にせずに、ちゃんと先生方と話をする事をお勧めします。
・代数I(+α)の内容の本
先ず、教科書だった堀田先生の本が読めるのなら、これを読んでおけば問題無いと思います。後は有名どころで雪江先生の代数学3部作とかも読めるなら良いと思います(てか、学部の間にこれ3冊とセミナーを確りやっておけば、多分修士1年から直ぐにちゃんとした研究に入れる)。ただ、これ等の本は中々難しいので(てか俺が全然読めない)、「代数勉強したいけど前期の授業は消化不良気味だった」みたいな人向けに、幾つか易しい本を紹介しておきます：
1. 中島匠一「数論と代数の基礎」共立出版
俺が初めて読んだ代数の本です。定義導入の動機付け、定義や定理の使用上の注意、証明の記述、どれを取っても糞丁寧です。ほぼ万人に合う気がします。初めに(代数を意識した)初等整数論の章が有るので、学校の先生を目指す人なんかは、夏休み中にこの章を代数の言葉に翻訳しながら読んだりするととても良いと思います。
2. 新妻弘、木村哲三「群・環・体入門」共立出版
証明が凄く丁寧で、更にレイアウトがシンプルで凄く読み易いです(俺が作ってた代数Iレポートの解答(「⇔」とか「∵」を多用してたやつ)に近い)。中島先生の本と違って動機付けとか使用上の注意みたいなお話的な記述は無いですが、寧ろそういうシンプルな本の方が好きな人もいると思います。例題や演習問題も豊富で、高校の教科書みたいな本です。
3. 川口周「代数学入門」日本評論社
定義定理の使用上の注意も、証明の記述も凄く丁寧です。例も豊富且つ丁寧で、理解の助けになると思います。応用例や代数II以降の内容にも少し触れられていて、中島先生の本に比して、専攻決定以降も代数を使うかも知れない人向けだと思います(勿論、自分で目を通してみて記述が気に入った方を優先してください)。
・代数方面のこの先の分野
3年後期セミナーで専攻を代数にしようか迷っている、或いは代数にする事は決めているけど具体的に何をするか決まっていない、って人は参考にしてください。当然、俺が知っている範囲での紹介になります(従って殆ど何も紹介出来ていない)。因みに、本を幾つか挙げたりしていますが、殆ど俺は読んだ事は無くて、人から聞いた噂とかに拠ります。これは俺の個人的な意見ですが、専攻は漠然とした憧れ(「フェルマーやりたい！」みたいなの)よりは、自分が好きな議論とか証明から選んだ方が後々上手くいく気がするので、そんな感じの紹介の仕方をします：
1. 対称群の式変形(問題2-[24], [25], 3-[11], [12], 4-[12], [13], [14]とか)が好き：
多分ですが、群絡みの組合せ論とか対称表現とかって分野が合う気がします。仲良かった奴が「組合せ論プロムナード」って本を面白がって読んでました。俺が以前線型代数を教わった(凄く教育的な)某先生は「線形代数と群の表現」って本をお勧めしていました。他に「置換群から学ぶ組合せ構造」「群論の味わい 置換群で解き明かすルービックキューブと15パズル」なんて本も在るみたいです。グラフ理論とかも検討してみると良いのかもです。
2. 行列で表された有限群(問題2-[14], 6-[5], [6], [11]とか)が好き：
所謂、有限群の線型表現って言われる分野を多分気に入るんだと思います。セールっていう偉い数学者の「有限群の線型表現」っていう本が有名みたいですが、セールの本は難しいので俺は嫌いです。てか表現論自体何が面白いのか俺には解らないので、よく知らないです。
後は、上で紹介した某友達が「古典群の表現論と組合せ論」って本をお薦めしていました。具体的な計算が沢山載っていて、読んでて楽しいらしいです。知らんけど。
3. 有限群の分類が好き：
有限群の分類って、恐らくもう研究する事はほぼ無い気がします。有限群繋がりで、上記を検討すべきでしょう。
4. 群は好きだけど、有限群より無限群(とかその無限部分群とか)の方が好き：
無限群って、大体は位相や多様体構造も加えた「位相群」「リー群」と呼ばれるものとして扱う事が殆どです。俺は昔「群と位相」って有名な本を読んだのですが、がち数学書って感じでしんどかったです。後は、今年亡くなった九大の先生だった野村先生の「球面調和函数と群の表現」って本は、易しくはないけどちゃんと読める様に書かれています。これも詳しくないんで、自分で色々調べてください。
「離散群」とか「自由群」とかってのも調べてみてください。
5. 多項式環が好き：
「グレブナー基底」っていう、「多変数の多項式環でも一変数の多項式環みたいな割り算の理論を組み立てましょう」って分野が在って、恐らくお気に召すかと思います。ヒルベルトの基底定理の証明とか、多項式の次数に関する帰納法の議論とかが好きな人は、先ず間違い無いと思います。読み易そうな本が幾つか在りますが、評判良いのは「グレブナ基底と代数多様体入門」って本です。他に「環と体の理論」って本は、代数II, IIIの内容に加えて最後にグレブナー基底にも触れています(俺的に読み易くて好き)。
他に、九大の阿部先生がやっている「超平面配置」って分野も多項式環の話だそうです(本人談。俺は知らん)。
6. (問題8-[8], [9], [13], 10-[12], [13]とか)が好き：
有理数係数方程式の解になる数は「代数的数」と呼ばれ、これを調べる分野は「代数的整数論」と呼ばれます。とかは正にそうです。特に
みたいな二次方程式の解から生じる体は「二次体」と呼ばれ、代数的整数論の中でも特に詳しく調べられています。俺は全然知らんけど、連分数とかペル方程式とかとも関わりが在るっぽいので、好きな人多いと思います。代数的整数論はノイキルヒ「代数的整数論」が有名ですが、これは人間が読むものではありません。藤崎先生の「代数的整数論入門」とか、雪江先生の「整数論1, 2」とかは、人間でも読める様には書かれていると思います。特に二次体に力を入れている本だと、「素数と二次体の整数論」「初等整数論 数論幾何への誘い」とかは、(既に卒業した)研究室の先輩は読み易いっつってました。
7. 整数環と多項式環の類似(問題9-[]3と[4], 10-[3]と[4], 問題11-[1]と[15]とか)が好き：
これも上記「初等整数論 数論幾何への誘い」が良いと思います。他に「数論I Fermatの夢と類体論」って本も、多分超数学ガチ勢向けですが良い本だと思われます。
8. 有限体やそれに由来する環(問題7-[15], [16], 8-[12]とか)が好き：
これは理論的な話が好きか、具体的な計算が好きかで分かれると思います。
理論が好きな人は、またまた「初等整数論 数論幾何への誘い」とか良さ気です。他に「ガウスの数論世界をゆく」って本も良く良いって言われています(知らんけど)。ひょっとしたら、p進数(ここで定義は説明は出来ない)とかも好きかも知れないです。雪江先生の「整数論1」とか、斎藤秀司先生の「整数論」とか、セールの「数論講義」とかが有名なんですかね。知らんけど。
一方で、計算が好きな人は、多分「符号理論」とかが良いんだと思います。前に齧った事が有りますが、殆ど有限体の計算の話でした。
9. 上記の様な具体例ではなく、純粋に準同型定理みたいな代数が好き：
可換環論とかホモロジー代数とかが良いんですかねえ。前者はともかく、後者はこれだけで(修士)論文を書くのは大変な気もします。コアなところで「環と加群のホモロジー代数的理論」って本が時々褒められています。
10. 初等整数論が好き：
これに執着すると多分卒業出来ない気がしますが、幾つか近そうな話を知っています。
「整数の分割」っていう、整数を幾つかの整数の和で表す方法を考える分野が在るんですが、結構、初等整数論の不定方程式の話に近い気がします。何か最近、うちの先生(竹田先生)もはまっているみたいです。
かの有名な「楕円曲線」は、不定方程式を解くのにも使われたりするみたいです。ただ、分野自体が難しいので、個人的にはあんまお勧めしません。
無理数を有理数で近似する「ディオファトス近似」って分野が在って、これも最初の内は割と初等的な話が多いみたいです(2017年の阪大理系数学3で簡単なのが出たりしている)。
11. 講評のRemarkとか問題10-[5]の解答のRemarkで書いた、空間と極大イデアル全体の対応とかに興味が有る：
まじでいたら、代数幾何ってかスキーム論をやるしか無いです。俺が3年後期から2年掛けて挫折した分野なんで、無事突破出来れば俺より強いです。
※以下「代数やりたいけど他の分野で好きなのが有る」って人向け。
12. 多変数の微分とか複素積分とか多様体みたいな、“固い”幾何系の話が好き：
きっと複素代数幾何の話とか好きなんだと思います(曲線とか曲面の話なんですが、その上の“函数環”も考えるんで、代数でもあります)。今野先生の「リーマン面と代数曲線」とか、小木曽先生の「代数曲線論」とか、堀川先生の「複素代数幾何入門」とかよく良いって言われますけど、俺には全部読めません。
多分、ゼータ函数とかモジュラー形式とかの話が好きなんでしょうね。俺は全く知らないけど。
14. 複素解析の初めとかルベーグ積分とかでやったイプシロンデルタの不等式評価が好き：
凄くよく解ります。俺もでした。是非一緒に高さ函数やりましょう。連絡ください。ネタなら腐る程有ります(てか既に腐り始めている)。
