予備校講師採用試験に2回落ちた九大チンカス院生の入試数学語り。

毒舌、下ネタ注意。※年々自信を失い、それに伴って毒もマイルドになってきています。

2022京大理系。

 論文書かないといけないんで、今年こそ京大東大九大だけにします。夜遅いんで、多分、明日書き直します。

難易度:やや易

昨年比:5完やや難化,、6完やや易化

 

1:不等式の証明(logの評価、粗く評価)。目標解答時間20分。

テクニックA

記述量A

発想力B

総合難易度AB

 2\times 10^3=2000\lt 2022\lt 2048=2^{11}ですね。俺は下の評価を思い付くのに一寸時間が掛かりました。発想寄りですかね(って言う程でもないか)。

 

2:確率(該当パターンカウント、(場合の数)/(場合の数))。目標解答時間20分。

テクニックAB

記述量B

発想力AB

総合難易度AB

 (場合の数)/(場合の数)で計算しましょう。Yを固定し、XはY-2通り、Zはn-(Y+1)通りで、後は固定していたYを動かしてシグマ計算です。条件からYの範囲が3≦Y≦n-3だけなのに注意です。

 

3:最大公約数(互除法)。目標解答時間25分。

テクニックAB

記述量A

発想力B

総合難易度AB

 n^4+2=(n^2+2)(n^2-2)+6, n^8+2=(n^4+4)(n^2+2)(n^2-2)+18 等と見て互除法です。俺は例によって「実験→予想」の流れだと思って無駄な計算を結構しちゃいました。

 

4:内積計算。目標解答時間30分。

テクニックA

記述量BC

発想力A

総合難易度AB

 多分(1)が誘導なんでしょうけど、如何やって使うんですかねえ。俺は気合で計算してしまいました。

 

5:(1)積分計算(奇数乗は1乗を分離してfgg');(2)最大値最小値(微分、解↔交点の言換)、一意性込みの特称命題の証明(中間値の定理);(3)不等式の証明(グラフの単調性の利用)。目標解答時間35分。

テクニックB

記述量BC

発想力C

総合難易度BC

 (1)は良いでしょう。

 (2)は1回微分しただけでは駄目で、1回の微分で出て来る式の正負に影響が出る部分(\cos t-3t\sin t)を取り出してやるのですが、更に微分ではなく\cos t-3t\sin t\Leftrightarrow \tan t=\frac{1}{3t}と見て左右の辺のグラフの交点の議論に帰着ですかね。一意性も\tanの単調性から直ちに出ます。

 (3)がやや厄介で、つまりf(\alpha)\lt \frac{3}{8}を示せば良いのですが、先ずはg(x):=\frac{\cos^4x}{3\sin x}に対して右辺がg\left(\frac{\pi}{6}\right)である事を見抜かないといけません(計算出来る有名角を代入するのはまあやるでしょう)。gが単調減少である事は簡単に判るので、後は\frac{\pi}{6}\lt \alpha (☆)が示せれば良いです。ここでf'\left(\frac{\pi}{6}\right)\gt 0である事から、(2)の議論と合わせt=\frac{\pi}{6}ではy=f(t)のグラフが最大値に向かって増加中である事が判り、従って☆が従います。去年の6(2)もでしたけど、こういうグラフの形を意識すると解き易くなる問題、最近の京大好きなんですかね。

 (3)はまあまあしんどい気がします。本セットで1番難しいんじゃないですかね。

 

6:漸化式を解く(予想して帰納法)。目標解答時間30分。

テクニックB

記述量BC

発想力B

総合難易度B

 今度こそ「実験→予想」です。やると階差数列だと予想出来、後は帰納法ですが、y_nの定義を見れば判る通り、三段仮定の帰納法になります。

 

 

 あんま難しくなかった気がしますが、今年度はまじで全然入試数学してなかったんで、俺は2分しか時間が余りませんでした。「解けてしまえば簡単だけどいざやろうとした時は意外と初手で詰まり得る」みたいな問題が多かった気がします。