２０２２京大理系。 - 予備校講師採用試験に２回落ちた九大チンカス研究員の入試数学語り。

　論文書かないといけないんで、今年こそ京大東大九大だけにします。夜遅いんで、多分、明日書き直します。

難易度：やや易

昨年比：5完やや難化,、6完やや易化

１：不等式の証明(logの評価、粗く評価)。目標解答時間20分。

テクニックA

記述量A

発想力B

総合難易度AB

　 $2\times 10^3=2000\lt 2022\lt 2048=2^{11}$ ですね。俺は下の評価を思い付くのに一寸時間が掛かりました。発想寄りですかね(って言う程でもないか)。

２：確率(該当パターンカウント、(場合の数)/(場合の数))。目標解答時間20分。

テクニックAB

記述量B

発想力AB

総合難易度AB

　(場合の数)/(場合の数)で計算しましょう。Yを固定し、XはY-2通り、Zはn-(Y+1)通りで、後は固定していたYを動かしてシグマ計算です。条件からYの範囲が3≦Y≦n-3だけなのに注意です。

３：最大公約数(互除法)。目標解答時間25分。

テクニックAB

記述量A

発想力B

総合難易度AB

　 $n^4+2=(n^2+2)(n^2-2)+6$ , $n^8+2=(n^4+4)(n^2+2)(n^2-2)+18$ 等と見て互除法です。俺は例によって「実験→予想」の流れだと思って無駄な計算を結構しちゃいました。

４：内積計算。目標解答時間30分。

テクニックA

記述量BC

発想力A

総合難易度AB

　多分(１)が誘導なんでしょうけど、如何やって使うんですかねえ。俺は気合で計算してしまいました。

５：(１)積分計算(奇数乗は1乗を分離してfgg')；(２)最大値最小値(微分、解↔交点の言換)、一意性込みの特称命題の証明(中間値の定理)；(３)不等式の証明(グラフの単調性の利用)。目標解答時間35分。

テクニックB

記述量BC

発想力C

総合難易度BC

　(１)は良いでしょう。

　(２)は1回微分しただけでは駄目で、1回の微分で出て来る式の正負に影響が出る部分( $\cos t-3t\sin t$ )を取り出してやるのですが、更に微分ではなく $\cos t-3t\sin t\Leftrightarrow \tan t=\frac{1}{3t}$ と見て左右の辺のグラフの交点の議論に帰着ですかね。一意性も $\tan$ の単調性から直ちに出ます。

　(３)がやや厄介で、つまり $f(\alpha)\lt \frac{3}{8}$ を示せば良いのですが、先ずは $g(x):=\frac{\cos^4x}{3\sin x}$ に対して右辺が $g\left(\frac{\pi}{6}\right)$ である事を見抜かないといけません(計算出来る有名角を代入するのはまあやるでしょう)。 $g$ が単調減少である事は簡単に判るので、後は $\frac{\pi}{6}\lt \alpha$ (☆)が示せれば良いです。ここで $f'\left(\frac{\pi}{6}\right)\gt 0$ である事から、(２)の議論と合わせ $t=\frac{\pi}{6}$ では $y=f(t)$ のグラフが最大値に向かって増加中である事が判り、従って☆が従います。去年の６(２)もでしたけど、こういうグラフの形を意識すると解き易くなる問題、最近の京大好きなんですかね。